Kommutative Gruppe/Gruppenring/Hopf-Algebra/Beispiel

Es sei ${}(D,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring, also

${}K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.$

Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als

$\Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},$

die Koeinheit als

$\epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,$

und das Koinverse als

$S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},$

ansetzt. Diese ${}K$-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen ${}D\longrightarrow D\times D$, ${}d\longmapsto (d,d)$, ${}D\rightarrow 0$ und ${}D\longrightarrow D$, ${}d\longmapsto -d$, im Sinne von Fakt.