Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition

Schwache Höhe (Gruppe)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und sei

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Funktion. Wir nennen ${}h$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}P\in G$ gibt es eine reelle Zahl ${}S_{1}$ derart, dass

   ${}h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,$

   für alle ${}Q\in G$ gilt.

2. Es gibt eine natürliche Zahl ${}m\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ und eine Konstante ${}S_{2}$ derart, dass

   ${}h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,$

   für alle ${}P\in G$ gilt.

3. Für jede Schranke ${}S$ ist die Menge

   ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}$

   endlich.