Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Definition

Schwache Höhe (Gruppe)

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und sei

$h:G⟶{ℝ}_{\ge 0}$

eine Funktion. Wir nennen $h$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu  $P\in G$  gibt es eine reelle Zahl $S_1$ derart, dass

   $h(P+Q)\le 2h(Q)+S_1$

   für alle  $Q\in G$  gilt.

2. Es gibt eine natürliche Zahl  $m\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$  und eine Konstante $S_2$ derart, dass

   $h(mP)\ge m^{2}h(P)-S_2$

   für alle  $P\in G$  gilt.

3. Für jede Schranke $S$ ist die Menge

   $\{x\in G\mid h(x)\le S\}$

   endlich.