Kommutative Monoidringe/A n/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel

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Wir betrachten den rational-polyhedrischen Kegel, der im durch die zwei Kanten und begrenzt wird. Das zugehörige Monoid ist durch die drei Erzeuger

gegeben. Dabei ist

Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem -fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind

Beide Linearformen nehmen im Punkt den Wert an. Die Bedingung bestimmt die zur -Achse parallele Gerade der Höhe , die die zweite Kante im Punkt durchstößt. Durch die Bedingung wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die -Achse, im Punkt durchstößt. Durch die Bedingung  und wird ein Parallelogramm (das „ -Signatur-Polytop“) definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren und aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich

Dies ist die kombinatorische -Signatur des Kegels.

Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist

Durch die Gleichung

wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte sind. Durch den Fakultätsfaktor ergibt sich, dass die -Signatur ebenfalls gleich ist.