Kommutative Monoidringe/A n/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch die zwei Kanten ${}(1,0)\mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}(k-1,k)\mathbb {R} _{\geq 0}$ begrenzt wird. Das zugehörige Monoid ${}M$ ist durch die drei Erzeuger

$(1,0),\,(k-1,k),\,(1,1)$

gegeben. Dabei ist

${}(1,0)+(k-1,k)=k(1,1)\,.$

Die Summe der beiden ersten Erzeuger stimmt also mit dem ${}k$-fachen des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

${}K[M]\cong K[X,Y,Z]/(XY-Z^{k})\,$

gegeben. Der Kegel wird wie jeder ebene Kegel durch zwei Kanten begrenzt. Die definierenden integralen Linearformen sind

${}\ell _{1}=y\,,$

${}\ell _{2}=kx-(k-1)y\,.$

Beide Linearformen nehmen im Punkt ${}(1,1)$ den Wert ${}1$ an. Die Bedingung ${}\ell _{1}=1$ bestimmt die zur ${}x$-Achse parallele Gerade der Höhe ${}1$, die die zweite Kante im Punkt ${}\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung ${}\ell _{2}=1$ wird wiederum eine Gerade festgelegt, die parallel zur einen Kanten verläuft, und die die erste Kante, also die ${}x$-Achse, im Punkt ${}\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ durchstößt. Durch die Bedingung ${}0\leq \ell _{1}\leq 1$ und ${}0\leq \ell _{2}\leq 1$ wird ein Parallelogramm (das „ ${}F$-Signatur-Polytop“) definiert, das vom Ursprung ausgehend von den beiden Vektoren ${}\left({\frac {k-1}{k}},\,1\right)$ und ${}\left({\frac {1}{k}},\,0\right)$ aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt ist nach der Determinantenformel gleich

${}\mid \!\det {\begin{pmatrix}{\frac {k-1}{k}}&{\frac {1}{k}}\\1&0\end{pmatrix}}\!\mid ={\frac {1}{k}}\,.$

Dies ist die kombinatorische ${}F$-Signatur des Kegels.

Die Summe der zwei beschreibenden Linearformen ist

${}\ell _{1}+\ell _{2}=kx-(k-2)y\,.$

Durch die Gleichung

${}\ell _{1}+\ell _{2}=1\,$

wird das Parallelogramm in zwei Dreiecke zerteilt, deren Flächeninhalte ${}{\frac {1}{2k}}$ sind. Durch den Fakultätsfaktor ${}2!$ ergibt sich, dass die ${}D$-Signatur ebenfalls gleich ${}{\frac {1}{k}}$ ist.