Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 9

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In dieser Vorlesung möchten wir Monoidringe als Invariantenringe zu einer Gruppenoperation auf einem Polynomring realisieren, wobei wir den Weg über graduierte Ringe beschreiten. Wir zitieren den folgenden Satz, das sogenannte Lemma von Gordan, das eine Beziehung zwischen (normalen, torsionsfreien, endlich erzeugten) Monoiden (mit Kürzungsregel) und endlich erzeugten rationalen konvexen Kegeln stiftet. Ein solcher (polyedrischer) Kegel besteht aus allen Linearkombinationen mit nichtnegativen Koeffizienten zu einer endlichen Familie von Vektoren im . Er heißt spitz, wenn er abgesehen vom Nullpunkt vollständig in einem Halbraum liegt. Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen (auch dies ist ein Satz aus der Theorie der polyedrischen Kegel).


Satz

  1. Es sei ein normales endlich erzeugtes Monoid und der zugehörige rationale Kegel. Dann ist , wobei das Differenzengitter zu ist.
  2. Wenn umgekehrt eine endlich erzeugte Untergruppe und ein endlich erzeugter rationaler Kegel ist, so ist der Durchschnitt ein normales endlich erzeugtes Monoid.

Statt im kann man genauso gut im arbeiten, allerdings wird verlangt, dass die Kegel von Vektoren mit rationalen Koordinaten erzeugt werden.



Normale Monoidringe als Invariantenringe

Wir betrachten auf dem Polynomring Graduierungen, die aus der feinen Graduierung, bei der die Variable den Grad bekommt, hervorgehen, indem man einen Gruppenhomomorphismus

in eine kommutative Gruppe fixiert (den man als surjektiv voraussetzen darf). Dies ergibt eine -Graduierung des Polynomrings, bei der der Grad der Variable durch

festgelegt ist. Die

neutrale Stufe dieses so graduierten Polynomringes besteht aus den Linearkombinationen aller Monome , deren Exponententupel unter auf abgebildet wird. Die neutrale Stufe wird also durch den Kern von vollständig beschrieben. Wenn umgekehrt eine Untergruppe gegeben ist, so kann man die Restklassenabbildung

betrachten und erhält so einen -graduierten Ring.



Satz  

Es sei ein Körper. Für eine kommutative -Algebra sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Monoidring über zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien, normalen, spitzen Monoid mit Kürzungsregel.
  2. ist die neutrale Stufe einer -Graduierung eines Polynomringes , wobei die Graduierung durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

    gegeben ist.

Beweis  

. Sei mit einem kommutativen Monoid , das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es nach Satz 9.1  (1) einen reellen Raum und einen spitzen rationalen polyedrischen Kegel derart, dass ist (dabei kann man als das Differenzengitter zu wählen). Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen , . Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen

durch

realisieren. Wegen der Rationalität kann man die sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von nach , ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus

der injektiv ist. Wenn nämlich ist, so gehört zu jedem der Halbräume , und das gleiche gilt für . Wegen der Spitzheit muss sein. Es sei das Bild in und es sei

der zugehörige Restklassenhomomorphismus. Insgesamt ist

Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in , deren -Grad gleich ist. Also ist

der Ring der neutralen Stufe von unter der durch gegebenen Graduierung.
. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen -Linearkombinationen zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir nennen. Es ist also

mit . Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen ist das Monoid spitz, torsionsfrei und genügt der Kürzungsregel. Die Normalität ist ebenfalls klar. Wegen folgt die endliche Erzeugtheit aus Satz 9.1  (2).



Beispiel  

Sei fixiert. Wir betrachten das Monoid , das durch die Vektoren

erzgeut wird. Das Differenzengitter des Monoids ist der umgebende . Das Monoid kann man auch mit einem Kegel beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden Linearformen und festgelegten Kegel . Für die Gleichheit muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid normal. Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von Satz 9.2 beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer (injektiven) Abbildung

zusammen, wobei für die Standardvektoren und gilt (die Bilder der erzeugenden Vektoren sind ). Es ist also und dies ist auch der Kern unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

mit


Die Graduierung im nächsten Beispiel kam bereits in Lemma 5.4 zum Zuge.


Beispiel  

Wir betrachten die -Graduierung (aufgefasst als Gruppenhomomorphismus ) auf , bei der den Grad und den Grad bekommen. Der Kern dieser Graduierung ist

Das Monoid wird zusätzlich von erzeugt. Wir berechnen die Linearformen, die im Sinne des Beweises der Rückrichtung von Satz 9.2 den Kegel im beschreiben, der das Monoid festlegt. Diese Linearformen ergeben sich durch die vier Projektionen des eingeschränkt auf mit der obigen Einbettung. Dies ergibt die Linearformen

Die Erzeuger dieses Kegels im sind

Sie werden durch auf die oben erwähnten Monoiderzeuger abgebildet.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Für eine kommutative -Algebra sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein -Monoidring zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien, normalen, spitzem Monoid mit Kürzungsregel.
  2. ist die neutrale Stufe einer -Graduierung eines Polynomringes , wobei die Graduierung durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

    gegeben ist.

  3. ist der Invariantenring einer treuen Operation der Gruppe
    auf dem Polynomring der Form

    (mit für und für ).

  4. ist der Invariantenring zur linearen Operation der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen
    auf dem (für gewisse für ).

Beweis  

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Satz 9.2.
Von (2) nach (3). Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen ist

daher ist

Die zur Graduierung gemäß Lemma 7.9 gehörende Gruppenoperation der Charaktergruppe ist für durch

festgelegt. Mit

und

(beides entsprechend der Produktzerlegung von bzw. von )ist

Es liegt also die im Satz beschriebene Form der Operation vor. Aufgrund der Voraussetzung an den Körper sind die Bedingungen von Satz 7.10 erfüllt, also ist die neutrale Stufe der Invariantenring. Nach Lemma 7.9 ist die Operation treu.
(3) nach (2). Sei die Operation mit den Daten gegebenen. Wir setzen

und definieren einen Gruppenhomomorphismus durch . Die Gruppenoperation der durch gegebenen Graduierung ist gerade die vorgegebene Operation. Diese Aussage folgt somit aus Satz 7.10.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar.


Beispiel 7.12 zeigt, dass man im vorstehenden Satz auf die Voraussetzung der Charakteristik nicht verzichten kann.



Veronese-Ringe

Definition  

Es sei eine -graduierte -Algebra und . Dann nennt man

den -ten Veronese-Ring von .

Dabei handelt es sich offenbar um einen Unterring von . Wegen liegt eine -Unteralgebra vor. Die Veroneseringe kann man selbst -graduieren, indem man entweder die Graduierung direkt übernimmt (wobei dann die Stufen, deren Index kein Vielfaches von ist, gleich sind) oder aber die Graduierung als ansetzt.



Lemma  

Es sei eine -graduierte -Algebra und . Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthalte.

Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe .

Beweis  

Wir betrachten als -graduiert durch den kanonischen Gruppenhomomorphismus . Dann ist der Veronese-Ring die -te Stufe von in dieser neuen Graduierung. Daher folgt die Aussage aus Korollar 7.11.




Lemma  

Es sei eine -graduierte -Algebra, die von der ersten Stufe erzeugt sei.

Dann wird der Veronese-Ring von der Stufe erzeugt.

Beweis  

Es genügt zu zeigen, dass jedes homogene Element von von erzeugt wird. Sei also . Nach Voraussetzung ist mit Elementen und mit . Diese Summe kann man in Teilsummen aufspalten, d.h. man kann schreiben, wobei die jeweils Gradtupel vom Grad sind.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der Polynomring und der Veronese-Ring zu . Nach Lemma 7.6 ist ein direkter Summand. Bei (und ) gibt es keinen Ringhomomorphismus

mit . Dies liegt daran, dass

mit keine Lösung besitzt.




Veronese-Ringe zu Polynomringen

Wir betrachten nun genauer die Veronese-Ringe zum Polynomring mit der Standardgraduierung.



Lemma  

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und .

Dann ist der Veronese-Ring der Monoidring zum Monoid

Wenn eine -te primitive Einheitswurzel enthält, so ist dies zugleich der Invariantenring zur linearen Operation der auf dem durch skalare Multiplikation.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 9.2 zur -Graduierung

Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus Lemma 9.7.


Die in der letzten Aussage angesprochene Gruppenoperation ist besonders einfach, sie wird linear durch Diagonalmatrizen mit konstanten Einträgen realisiert, die -te Einheitswurzeln sind. Die Determinanten dieser Matrizen sind i.A. nicht , d.h. es handelt sich nicht um eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe. Damit hängt der Umstand zusammen, dass die Veronese-Ringe typischerweise ziemlich viele Gleichungen benötigen, um sie als Restklassenring eines Polynomrings zu beschreiben.


Beispiel  

Zum Polynomring über einem Körper und jedem ist der -te Veronese-Ring isomorph zum Polynomring selbst. Es handelt sich einfach um den von über erzeugten Unterring.



Beispiel  

Zum Polynomring über einem Körper und einem wird der -te Veronese-Ring durch die Monome erzeugt. Bei handelt es sich um

Bei handelt es sich um

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.




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