Kommutative Monoidringe/Grundring integer/Monoidring nicht integer/Beispiel

Es sei $M$ ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente $m$ und $n$ gebe mit  $m+n=n+n$.  Daraus folgt ohne die Kürzungsregel nicht  $m=n$.  Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich $R$ ist $X^m-X^n\ne 0$ und $X^n\ne 0$, aber

$(X^m-X^n)X^n=X^{m+n}-X^{n+n}=X^{2n}-X^{2n}=0.$