Kommutative Monoidringe/Grundring integer/Monoidring nicht integer/Beispiel

Es sei ${}M$ ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente ${}m$ und ${}n$ gebe mit  ${}m+n=n+n$.  Daraus folgt ohne die Kürzungsregel nicht  ${}m=n$.  Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich ${}R$ ist $X^{m}-X^{n}\neq 0$ und $X^{n}\neq 0$, aber

${}{\left(X^{m}-X^{n}\right)}X^{n}=X^{m+n}-X^{n+n}=X^{2n}-X^{2n}=0\,.$