Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition

Monoidring

Es sei $M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring $R[M]$ wie folgt konstruiert. Als $R$-Modul ist

$R[M]=\underset{m\in M}{⨁}R{e}_m,$

d.h. $R[M]$ ist der freie Modul mit Basis $e_m$, $m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

$e_m\cdot e_k:=e_{m+k}$

definiert und auf ganz $R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element  $0\in M$  das neutrale Element  $1=e_0$  der Multiplikation.