Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Zunächst ist , wobei die Differenzengruppe zu bezeichnet. Damit ist ein Unterring, und es genügt die Aussage für zu beweisen. Da torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Sei nun

Da hier fast alle Koeffizienten sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe der torsionsfreien Gruppe ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann . Wir können also sogar annehmen. Dann ist aber eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

Zur bewiesenen Aussage