Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}M\subseteq \Gamma (M)$, wobei ${}\Gamma (M)$ die Differenzengruppe zu ${}M$ bezeichnet. Damit ist ${}R[M]\subseteq R[\Gamma (M)]$ ein Unterring, und es genügt die Aussage für ${}R[\Gamma (M)]$ zu beweisen. Da ${}M$ torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch ${}\Gamma (M)$ torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Es sei nun

${}\sum _{n\in M}a_{n}X^{n}\cdot \sum _{n\in M}b_{n}X^{n}=0\,.$

Da hier fast alle Koeffizienten ${}0$ sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe ${}U$ der torsionsfreien Gruppe ${}M$ ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann ${}U\cong \mathbb {Z} ^{n}$. Wir können also sogar ${}M=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen. Dann ist aber ${}R[M]$ eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.

Zur bewiesenen Aussage