Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe zu Monoid/Definition

Differenzengruppe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${}\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,$

mit der Addition

${}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$

und der Identifikation

$m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$

die Differenzengruppe zu ${}M$.