Kommutative Monoidringe/Quadrik/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel

Wir betrachten den rational-polyedrischen Kegel, der im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch ein Quadrat in der ${}1$-Ebene erzeugt wird, nämlich durch die vier Eckpunkte

$(0,0,1),\,(1,0,1),\,(0,1,1),\,(1,1,1).$

Diese vier Eckpunkte erzeugen das Monoid im zugehörigen Kegel. Die Summe des ersten und des vierten Erzeugers stimmt mit der Summe des zweiten und des dritten Erzeugers überein, daher ist der zugehörige Monoidring durch

${}K[M]\cong K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$

gegeben. Der Kegel wird durch vier Seiten begrenzt und ist nicht simplizial. Die definierenden integralen Linearformen sind

${}\ell _{1}=x\,,$

${}\ell _{2}=y\,,$

${}\ell _{3}=z-x\,,$

${}\ell _{4}=z-y\,.$

Das „ ${}F$-Signatur-Polytop“, das durch die Bedingungen ${}0\leq \ell _{j}\leq 1$, ${}1\leq j\leq 4$, gegeben ist, ist eine Doppelpyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der (Einzel)-Höhe, ihr Volumen (also die kombinatorische ${}F$-Signatur) ist daher

${}2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}\,.$

Die Summe der vier Linearformen ist

${}\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\ell _{4}=2z\,.$

Somit wird das „ ${}D$-Signatur-Polytop“ durch

${}z={\frac {1}{2}}\,$

begrenzt, und sein Volumen ist

${}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{24}}\,.$

Die kombinatorische ${}D$-Signatur ist also

${}3!\cdot {\frac {1}{24}}={\frac {1}{4}}\,.$