Kommutative Monoidringe/Regulär/Realisierungen/Signaturen/Bemerkung

Verschiedene Kegel können zum gleichen Monoid führen, beispielsweise zum regulären Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$. Wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Z} ^{n}$ Monoiderzeuger für ein Monoid ${}M$ mit

${}\det \left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)=\pm 1\,$

sind, so ist durch ${}e_{i}\mapsto v_{i}$ ein Isomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$

gegeben, der ${}\mathbb {N} ^{n}$ in ${}M$ überführt und auch die Kegel ineinander überführt. Über die duale Abbildung entsprechen sich auch die begrenzenden integralen Linearformen. Da man das Volumen des von ${}n$ Vektoren erzeugten Parallelotops nach Fakt ebenfalls mit dem Betrag der Determinante berechnet, ergibt sich für ${}M$ ebenfalls die Signatur ${}1$.

Ein Beispiel ist das von ${}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ erzeugte Monoid.