Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Bemerkung

Eine Einheit ist also ein Element, das die ${}1$ teilt. Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=1$, so ist

${}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit ${}u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von ${}R$ nennt. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.