Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt

Lemma von Bézout (Hauptidealbereich)

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$ , und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1}, \dots, a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1}, \dots, r_{n} \in R$ mit $r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + \dots + r_{n} a_{n} = d$ .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ eine Darstellung der $1$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen