Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$  das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element ${}d$ mit  ${}I=(d)$.  Wir behaupten, dass ${}d$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen  ${}(a_{i})\subseteq I=(d)$  zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ${}e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder  ${}(d)=I\subseteq (e)$,  was wiederum ${}e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus  ${}d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. 

Im teilerfremden Fall ist  ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$. 

Zur bewiesenen Aussage