Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung

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Es sei ein Radikal und nilpotent. Dann ist in . Zurückübersetzt nach bedeutet dies . Da ein Radikal vorliegt, ist und damit im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.

Es sei umgekehrt ein Ideal

mit reduziertem Restklassenring gegeben. Es sei . Dann ist die Restklasse von gleich . Wegen der Reduziertheit ist bereits .

Dies bedeutet , also ist das Ideal ein Radikal.