Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Multiplikatives System und topologischer Filter/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}R$ eine kommutative ${}K$ -Algebra von endlichem Typ und sei ${}S$ ein multiplikatives System in ${}R$ . Zu ${}S$ definieren wir

{}F(S)={\left\{U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}{\text{ offen}}\mid {\text{ es gibt }}f\in S{\text{ mit }}D(f)\subseteq U\right\}}\,.

a) Zeige, dass ${}F=F(S)$ ein topologischer Filter in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ist.

b) Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

R_{S}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F}

gibt.

c) Zeige, dass der Ringhomomorphismus aus (b) eine Isomorphie ist, falls ${}K$ algebraisch abgeschlossen und ${}R$ reduziert ist.