Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe entsprechen die Ideale im Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ eindeutig den Idealen in ${}R$ zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$. Nun ist ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass ${}{\mathfrak {m}}$ maximal ist.

Zur bewiesenen Aussage