Kommutative Ringtheorie/Nilpotent/Unipotent und Z mod 9/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der nilpotenten Elemente in ${}R$ ein Ideal bilden (dieses nennt man das Nilradikal von ${}R$.

Zeige ferner, dass zu einem nilpotenten Element ${}f\in R$ das Element ${}1+f$ eine Einheit ist.

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(9)$ die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung ${}f\longmapsto 1+f$ ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe ${}U$ der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist.

Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von ${}U$ mit einer weiteren Untergruppe.

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