Beweis
Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in
eine
Einheit
oder
nilpotent
ist. Es sei hierzu
keine Einheit. Dann ist
.
Angenommen,
ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach
Fakt
ein Primideal
in
mit
.
Damit ergibt sich der Widerspruch
.
Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem
von
eine natürliche Zahl
mit
für alle
. Sei
.
Dann ist ein beliebiges Element aus
von der Gestalt
-
Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen
und
, so dass ein
mit einem Exponenten
vorkommt. Daher ist das Produkt
.