Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt/Beweis

Beweis

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in ${}R$ eine Einheit oder nilpotent ist. Es sei hierzu ${}f\in R$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$. Angenommen, ${}f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Fakt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. Damit ergibt sich der Widerspruch ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von ${}{\mathfrak {m}}$ eine natürliche Zahl ${}m$ mit $f_{i}^{m}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$. Sei ${}n=km$. Dann ist ein beliebiges Element aus ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ von der Gestalt

${\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i1}f_{i}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i2}f_{i}\right)}\cdots {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{in}f_{i}\right)}.$

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{k}^{r_{k}}$ und $\sum _{i=1}^{k}r_{i}=n$, sodass ein ${}f_{i}$ mit einem Exponenten ${}\geq n/k=m$ vorkommt. Daher ist das Produkt ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage