Kommutative Ringtheorie/Noethersch lokal nulldimensional/Potenz ist null/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu keine Einheit. Dann ist . Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Aufgabe ein Primideal in mit . Damit ergibt sich der Widerspruch .

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei . Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , so dass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .

Zur bewiesenen Aussage