Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) (2). Sei

eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen

für muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab stationär ist.

(2) (1). Sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Sei dazu

bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element

Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.

Zur bewiesenen Aussage