Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Es sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Idealkette in ${}R$. Wir betrachten die Vereinigung

${}{\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\,,$

die wieder ein Ideal in ${}R$ ist. Da ${}R$ noethersch ist, ist ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Da diese ${}f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein ${}n$ derart geben, dass ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen

${}(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$

für ${}m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab ${}n$ stationär ist.

(2) ${}\Rightarrow$ (1). Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in ${}R$. Wir nehmen an, ${}{\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$, wobei die ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

bereits konstruiert. Da ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${}{\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element ${}f_{n+1}\in {\mathfrak {a}}$, ${}f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}$. Dann setzt das Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.

Zur bewiesenen Aussage