Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .

Zur bewiesenen Aussage