Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel

${}{\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,$

($t\neq 0$). Für die Operationen gelten

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,$

(auf einen Hauptnenner bringen) und

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.$

Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element

${}{\frac {r}{s}}\neq 0\,$

ist ${}{\frac {s}{r}}$ das Inverse.

Der Integritätsbereich ${}R$ findet sich in ${}Q(R)$ über die Elemente ${}{\frac {r}{1}}$ wieder. Diese natürliche Inklusion

${}R\subseteq Q(R)\,$

ist ein Ringhomomorphismus. Das Element ${}r={\frac {r}{1}}$ hat bei ${}r\neq 0$ das Inverse ${}{\frac {1}{r}}$. Zwischen ${}R$ und ${}Q(R)$ gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu ${}r\neq 0$ das (eindeutig bestimmte) Inverse ${}{\frac {1}{r}}$ enthalten und dann aber auch alle Produkte ${}s{\frac {1}{r}}={\frac {s}{r}}$.