Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei

{}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.

Wegen ${}\varphi (0)=0$ . ist ${}0\in I$ . Es seien ${}a,b\in I$ . Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$ . Dann ist

{}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,

und daher ${}a+b\in I$ .

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

{}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,

also ist

{}ra\in I

.