Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt

Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

$n^{\frac {1}{k}}$

irrational.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen