Beweis
Wir betrachten die Menge der Ideale
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![{\displaystyle {}M={\left\{{\mathfrak {a}}{\text{ Ideal }}\mid f^{r}\not \in {\mathfrak {a}}{\text{ für alle }}r\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3042493bc9ba741f2b013d4569785c109d64fac1)
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet
(bezüglich der Inklusion).
Ist nämlich
,
,
eine total geordnete Teilmenge von
, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von
enthält.
Nach dem Lemma von Zorn
gibt es daher maximale Elemente in
.
Wir behaupten, dass ein solches maximales Element
ein Primideal ist. Es sei dazu
und
, und sei
angenommen. Dann hat man echte Inklusionen
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![{\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}+(g),{\mathfrak {p}}+(h)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68708dfe9189c0a375a9b53b36c7ce9795593934)
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu
gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten
gibt mit
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Dann ergibt sich der Widerspruch
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![{\displaystyle {}f^{r}f^{s}\in {\mathfrak {p}}+(gh)\subseteq {\mathfrak {p}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9e90f1354e2296074fe0765d9928b5c03fb182)