Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir machen eine Doppelinduktion nach $r$ und nach $s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste $r$ durch Induktion nach $s$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang $r$ (äußere Induktion). Bei  $r=0$  ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich $0$. Es sei also  $r=1$,  sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl  $a=a_1$  ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges $s$ zeigen. Bei  $s=0,1$  ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein

$s\ge 2$

schon bewiesen. Dann ist

$\begin{array}{cc}a\cdot (b_1+\cdots +b_s+b_{s+1})& =a\cdot ((b_1+\cdots +b_s)+b_{s+1})\\ & =a\cdot (b_1+\cdots +b_s)+a{b}_{s+1}\\ & =\left(\sum _{k=1}^{s}a{b}_k\right)+a{b}_{s+1}\\ & =\sum _{k=1}^{s+1}a{b}_k\end{array}$

nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.

Es sei die Aussage nun für ein festes $r$ und jedes $s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung

$\begin{array}{cc}\left(\sum _{i=1}^{r+1}{a}_i\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^s{b}_k\right)& =(\left(\sum _{i=1}^r{a}_i\right)+a_{r+1})\cdot \left(\sum _{k=1}^s{b}_k\right)\\ & =\left(\sum _{i=1}^r{a}_i\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^s{b}_k\right)+a_{r+1}\cdot \left(\sum _{k=1}^s{b}_k\right)\\ & =\sum _{1\le i\le r,1\le k\le s}{a}_i{b}_k+\sum _{k=1}^s{a}_{r+1}{b}_k\\ & =\sum _{1\le i\le r+1,1\le k\le s}{a}_i{b}_k.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe