Kommutativer Halbring/Q\geq 1 und 0/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

1. Es ist lediglich zu zeigen, dass ${}M$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen sind. Dies ist für die Addition mit ${}0$ und der Multiplikation mit ${}0$ klar. Ferner ist die Summe (bzw. das Produkt) von zwei rationalen Zahlen, die beide ${}\geq 1$ sind, selbst wieder ${}\geq 1$.
2. Wenn ${}a=0$ ist, so ist wegen ${}0\leq b$ automatisch auch die rechte Seite erfüllt, und wenn ${}b=0$ ist, so ist wegen

   ${}a0=0\,$

   auch die linke Seite erfüllt. Wir können also und auf den Fall ${}a,b\neq 0$ beschränken. Wenn ${}a$ das Element ${}b$ teilt, so bedeutet dies, dass es ein ${}x\in M$ mit

   ${}ax=b\,$

   gibt. Dies bedeutet einfach, dass der in ${}\mathbb {Q}$ genommene Quoient ${}{\frac {b}{a}}$ zu ${}M$ gehört, also ${}\geq 1$ ist. Doch dies ist äquivalent zu ${}b\geq a$.

3. Es ist

   ${}{\frac {6}{5}}={\frac {12}{10}}={\frac {12}{11}}\cdot {\frac {11}{10}}\,$

   eine Darstellung in Faktoren, die beide keine Einheit sind.

4. Die ${}0$ und die (einzige) Einheit ${}1$ sind nach Definition nicht irreduzibel. Für ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}{\frac {b}{a}}>1$ ist

   ${}{\frac {b}{a}}={\frac {2b}{2a}}={\frac {2b-1}{2a}}\cdot {\frac {2b}{2b-1}}\,$

   und wegen ${}b>a$ ist auch

   ${}2b-1>2a\,,$

   also gehören die beiden Faktoren zu ${}M$.

5. Der erste Teil der Konjunktion, also ${}\alpha {\frac {0}{x}}$, ist unmittelbar wegen des ersten Teils der Disjunktion wahr. Es sei also ${}\alpha$ wahr für ein bestimmtes ${}x$. Der Nachfolger davon, also ${}x+1$, steht bereits in der Form des zweiten Teils der Disjunktion da.
6. Wir betrachten das Induktionsaxiom für die Aussage aus Teil (5). Die Voraussetzungen, also Induktionsanfang und Induktionsschritt, gelten wie in Teil (5) gezeigt. Hingegen gilt die Aussage ${}\alpha$ nicht für alle ${}x\in M$, beispielsweise gilt sie für ${}x={\frac {3}{2}}$ nicht.

Zur gelösten Aufgabe