Kommutativer Halbring/Q\geq 1 und 0/Teilbarkeit/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist lediglich zu zeigen, dass unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen sind. Dies ist für die Addition mit und der Multiplikation mit klar. Ferner ist die Summe (bzw. das Produkt) von zwei rationalen Zahlen, die beide sind, selbst wieder .
  2. Wenn ist, so ist wegen automatisch auch die rechte Seite erfüllt, und wenn ist, so ist wegen

    auch die linke Seite erfüllt. Wir können also und auf den Fall beschränken. Wenn das Element teilt, so bedeutet dies, dass es ein mit

    gibt. Dies bedeutet einfach, dass der in genommene Quoient zu gehört, also ist. Doch dies ist äquivalent zu .

  3. Es ist

    eine Darstellung in Faktoren, die beide keine Einheit sind.

  4. Die und die (einzige) Einheit sind nach Definition nicht irreduzibel. Für mit ist

    und wegen ist auch

    also gehören die beiden Faktoren zu .

  5. Der erste Teil der Konjunktion, also , ist unmittelbar wegen des ersten Teils der Disjunktion wahr. Sei also wahr für ein bestimmtes . Der Nachfolger davon, also , steht bereits in der Form des zweiten Teils der Disjunktion da.
  6. Wir betrachten das Induktionsaxiom für die Aussage aus Teil (5). Die Voraussetzungen, also Induktionsanfang und Induktionsschritt, gelten wie in Teil (5) gezeigt. Hingegen gilt die Aussage nicht für alle , beispielsweise gilt sie für nicht.
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