Kommutativer Halbring/Q\geq 1 und 0/Teilbarkeit/Aufgabe

Es sei

${}M=\{0\}\cup \mathbb {Q} _{\geq 1}\,.$

1. Zeige, dass ${}M$ ein kommutativer Halbring ist.
2. Zeige, dass in ${}M$ die Relationen

   $a{\text{ teilt }}b{\text{ oder }}a=0$

   und

   $a\leq b{\text{ oder }}b=0$

   zueinander äquivalent sind.

3. Zeige, dass ${}{\frac {6}{5}}$ nicht irreduzibel in ${}M$ ist.
4. Zeige, dass es in ${}M$ keine irreduziblen Elemente gibt.
5. Es sei ${}\alpha$ die Aussage

   $x=0\vee \exists y(x=y+1).$

   Zeige, dass in ${}M$ die Aussage

   $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge {\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}$

   wahr ist.

6. Zeige, dass ${}M$ kein Peano-Halbring ist.

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