Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring, ${}I$ eine endliche Menge und seien ${}a_{i}$, ${}i\in I$, Elemente aus ${}R$. Man definiert die Summe ${}\sum _{i\in I}a_{i}$, indem man eine Nummerierung (eine Bijektion)

$\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow I$

fixiert und

${}\sum _{i\in I}a_{i}:=\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}\,$

setzt.

1. Zeige, dass diese Summe unabhängig von der gewählten Nummerierung ist.
2. Zeige

   ${}\sum _{i\in I}a_{i}={\left(\sum _{i\in I\setminus \{j\}}a_{i}\right)}+a_{j}\,$

   für ein beliebiges ${}j\in I$.

3. Es sei

   ${}I=I_{1}\cup I_{2}\,$

   eine disjunkte Vereinigung. Zeige

   ${}\sum _{i\in I}a_{i}={\left(\sum _{i\in I_{1}}a_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I_{2}}a_{i}\right)}\,.$

4. Formuliere die entsprechenden Gesetze für das Produkt ${}\prod _{i\in I}a_{i}$.

Eine Lösung erstellen