Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt/Beweis

Beweis

Das ${}F$ -Polytop zum gegebenen Kegel ${}C$ ist

{\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0\leq \ell _{i}(x)\leq 1{\text{ für alle }}i\right\}}.

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ die Vektoren, die durch

\ell _{i}(v_{i})=1{\text{ und }}\ell _{j}(v_{i})=0{\text{ für alle }}j\neq i

gegeben seien. Diese liegen auf den ${}n$ Kanten von ${}C$ . Wegen

{}{\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0\leq \ell _{i}(x)\leq 1{\text{ für alle }}i\right\}}={\left\{\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\right\}}\,

ist das Volumen des ${}F$ -Polytops gleich

\vert {\det \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)}\vert .

Wegen

{}{\begin{pmatrix}\ell _{1}\\\vdots \\\ell _{n}\end{pmatrix}}\cdot \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,

folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz.