Kommutativer Ring/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.



Lemma  

Sei ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.

Beweis  

Die Charakteristik sei  und es sei angenommen, dass keine Primzahl ist, also eine Zerlegung mit kleineren Zahlen besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist in und ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Fakt ist , so dass, weil ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von .