Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ ist der Operator ${}E$ die Multiplikation mit einem Element ${}s=r+u\in S$, das auf ${}R$ die Abbildung ${}t\mapsto rt+ru\mapsto rt$ induziert, was die Multiplikation mit ${}r$ ist.

Sei nun ${}E$ ein Differentialoperator auf ${}S$ der Ordnung ${}\leq m$. Die Einschränkung sei mit ${}E'$ bezeichnet. Sei ${}r\in R$. Dann ist für ${}t\in R$ einerseits

${}[E',r](t)=(E'\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E')(t)=E'(rt)-rE'(t)=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,$

und andererseits

${}[E,r]'(t)=\rho ((E\circ \mu _{r}-\mu _{r}\circ E)(t))=\rho (E(rt)-rE(t))=\rho (E(rt))-r\rho (E(t))\,,$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass ${}\rho$ ${}R$-linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von ${}E'$ mit der Multiplikation mit ${}r$ die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq m-1$.

Zur bewiesenen Aussage