Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über . Bei ist der Operator die Multiplikation mit einem Element , das auf die Abbildung induziert, was die Multiplikation mit ist.

Sei nun ein Differentialoperator auf der Ordnung . Die Einschränkung sei mit bezeichnet. Sei . Dann ist für einerseits

und andererseits

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass -linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von mit der Multiplikation mit die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung .