Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Der Produktring ${}\prod _{n\in \mathbb {N} }R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ist mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation versehen. Da die Summe und das Produkt von kompatiblen Elementen wieder kompatibel sind, bildet die Komplettierung einen Unterring. Zu ${}f\in R$ ist ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ kompatibel, und diese Zuordnung ist ein Ringhomomorphismus, da jeder Restklassenhomomorphismus ${}R\rightarrow R/{\mathfrak {a}}^{n}$ ein Ringhomomorphismus ist.

Zur bewiesenen Aussage