Kommutativer Ring/Ideal/Teilerfremd/Durchschnitt und Produkt/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion ${}\supseteq$ gilt immer. Es sei also ${}x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ und seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ Elemente mit ${}a+b=1$. Dann ist

${}x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage