Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt/Beweis

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Beweis

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Es sei also projektiv. Es sei ein minimales Erzeugendensystem von und sei

der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist

eine -lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus mit . Dann ist

mit und wobei wir mit identifizieren. Wir betrachten nun

und die induzierten -linearen Abbildungen

Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss sein. Aus Fakt folgt und somit ist frei.