Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt/Beweis

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Beweis

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Sei also projektiv. Es sei ein minimales Erzeugendensystem von und sei

der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist

eine -lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus mit . Dann ist

mit und wobei wir mit identifizieren. Wir betrachten nun

und die induzierten -linearen Abbildungen

Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss sein. Aus Fakt folgt und somit ist frei.

Zur bewiesenen Aussage