Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt/Beweis

Beweis

Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Es sei also ${}M$ projektiv. Es sei ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein minimales Erzeugendensystem von ${}M$ und sei

$p\colon R^{n}\longrightarrow M$

der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist

${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M$

eine ${}R/{\mathfrak {m}}$-lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus ${}i\colon M\rightarrow R^{n}$ mit  ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{M}$.  Dann ist

${}R^{n}\cong M\oplus N\,$

mit  ${}N=\operatorname {kern} p$  und wobei wir ${}M$ mit ${}i(M)$ identifizieren. Wir betrachten nun

$R^{n}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}M\oplus N\longrightarrow M$

und die induzierten ${}R/{\mathfrak {m}}$-linearen Abbildungen

${\left(R/{\mathfrak {m}}\right)}^{n}\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M\oplus N/{\mathfrak {m}}N\longrightarrow M/{\mathfrak {m}}M.$

Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss  ${}N/{\mathfrak {m}}N=0$  sein. Aus Fakt folgt  ${}N=0$  und somit ist  ${}R^{n}=M$  frei.

Zur bewiesenen Aussage