Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Einheit modulo m^n/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=0$ ist die Aussage trivial, für ${}n=1$ liegt der Restekörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ vor, in dem die Restklasse ${}[f]\neq 0$ eine Einheit ist. Im allgemeinen Fall folgt aus ${}f\notin {\mathfrak {m}}^{n}$ insbesondere ${}f\notin {\mathfrak {m}}$. D.h. ${}f$ erzeugt zusammen mit ${}{\mathfrak {m}}$ das Einheitsideal von ${}R$. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung

${}af+b=1\,$

mit ${}a\in R$ und ${}b\in {\mathfrak {m}}$ vorliegt. Die ${}n$-te Potenz dieser Gleichung können wir als

${}1=1^{n}=(af+b)^{n}=fg+b^{n}\,$

schreiben, wobei sich ${}g$ aus dem binomischen Lehrsatz

ergibt. Wegen ${}b^{n}\in {\mathfrak {m}}^{n}$ bedeutet diese Gleichung für den Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$, dass dort ${}f$ eine Einheit ist.

Zur gelösten Aufgabe