Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über die Länge des Moduln. Bei gibt es überhaupt nur eine Kompositionsreihe. Sei die Aussage also für jeden Modul der Länge bewiesen und sei

eine Kette von Untermoduln von maximaler Länge. Jede Kompositionsreihe besitzt natürlich höchstens die Länge . Es sei

eine Kompositionsreihe von . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

Bei muss Gleichheit gelten und dann ist nach Induktionsvoraussetzung. Bei ist die induzierte Abbildung

surjektiv und man hat eine kurze exakte Sequenz

und eine kurze exakte Sequenz

Dabei hat die Länge und nach Induktionsvoraussetzung besitzt die Länge . Dann besitzt eine Länge von zumindest , also und damit .