Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Länge ${}n$ des Moduln. Bei ${}n=0,1$ gibt es überhaupt nur eine Kompositionsreihe. Es sei die Aussage also für jeden Modul der Länge ${}n$ bewiesen und sei

${}0\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{n}\subset M_{n+1}=M\,$

eine Kette von Untermoduln von ${}M$ maximaler Länge. Jede Kompositionsreihe besitzt natürlich höchstens die Länge ${}n+1$. Es sei

${}0\subset U_{1}\subset \ldots \subset U_{s}\subset U_{s+1}=M\,$

eine Kompositionsreihe von ${}M$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{n}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{n}\longrightarrow 0.$

Bei ${}M_{n}\subseteq U_{s}$ muss Gleichheit gelten und dann ist ${}n=s$ nach Induktionsvoraussetzung. Bei ${}M_{n}\not \subseteq U_{s}$ ist die induzierte Abbildung

$M_{n}\longrightarrow M/U_{s}$

surjektiv und man hat eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{n}\cap U_{s}\longrightarrow M_{n}\longrightarrow M/U_{s}\longrightarrow 0$

und eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{n}\cap U_{s}\longrightarrow U_{s}\longrightarrow M/M_{n}\longrightarrow 0.$

Dabei hat ${}M_{n}$ die Länge ${}n$ und nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}M_{n}\cap U_{s}$ die Länge ${}n-1$. Dann besitzt ${}U_{s}$ eine Länge von zumindest ${}n$, also ${}s\geq n$ und damit ${}s=n$.

Zur bewiesenen Aussage