Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Lokalisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$ und ${}M_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung des Moduls.

Dann gibt es eine natürliche graduierte ${}R/{\mathfrak {n}}=S/{\mathfrak {m}}$-Algebraisomorphie

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {n}}M=\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M_{\mathfrak {n}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen