Kommutativer Ring/Modul/Rang 1/Freie Ergänzung/Frei/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Rangeigenschaft und der Voraussetzung ist

$M\oplus R^n\cong R^{n+1}$

Für die $n+1$-te äußere Potenz gilt dann

$R\cong \stackrel{n+1}{\bigwedge }(R^{n+1})\cong \stackrel{n+1}{\bigwedge }(M\oplus R^n)\cong \underset{i+j=n+1}{⨁}\stackrel{i}{\bigwedge }M\otimes \stackrel{j}{\bigwedge }{R}^n.$

Für  $i\ge 2$  sind die  $\stackrel{i}{\bigwedge }M=0$,  sodass rechts allein der Summand  $M\otimes \stackrel{n}{\bigwedge }{R}^n=M$  übrig bleibt, also ist  $R\cong M$. 

Zur bewiesenen Aussage