Kommutativer Ring/Modul/Rang 1/Freie Ergänzung/Frei/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Rangeigenschaft und der Voraussetzung ist

${}M\oplus R^{n}\cong R^{n+1}\,$

Für die ${}n+1$-te äußere Potenz gilt dann

${}R\cong \bigwedge ^{n+1}(R^{n+1})\cong \bigwedge ^{n+1}(M\oplus R^{n})\cong \bigoplus _{i+j=n+1}\bigwedge ^{i}M\otimes \bigwedge ^{j}R^{n}\,.$

Für ${}i\geq 2$ sind die ${}\bigwedge ^{i}M=0$, sodass rechts allein der Summand ${}M\otimes \bigwedge ^{n}R^{n}=M$ übrig bleibt, also ist ${}R\cong M$.

Zur bewiesenen Aussage