Kommutativer Ring/Polynomring/1/Restklassenring/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

$R[X]\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}),\,X\longmapsto [r],$

der ${}X$ auf die Restklasse zu ${}r$ abbildet. Dabei wird ${}F_{0}=X-r$ auf ${}0$ und die ${}F_{i}$, ${}i\geq 1$, werden auf ${}G_{i}=0$ abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R[X]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R/(G_{1},\ldots ,G_{n}).$

Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Sei dazu

${}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,$

das unter ${}\varphi$ auf ${}0$ abgebildet wird, d.h. es ist ${}P(r)=a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}=0$ in ${}R/(G_{1},\ldots ,G_{n})$, und das bedeutet

${}a_{0}+a_{1}r+\cdots +a_{n}r^{n}\in (G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

in ${}R$. Wir betrachten

${}{\begin{aligned}P-P(r)&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}-\sum _{i=0}^{n}a_{i}r^{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(X^{i}-r^{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}(X-r)H_{i},\end{aligned}}$

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in ${}X^{i}-r^{i}$ stets ${}(X-r)$ ausklammern kann. Somit ist

${}P-P(r)\in (X-r)\,$

und insgesamt

${}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})\,.$

Wegen den entsprechenden Gleichungen

${}F_{i}-G_{i}=F_{i}-F_{i}(r)=(X-r)B_{i}\,$

mit gewissen ${}B_{i}$ und somit ist

${}P\in (X-r,G_{1},\ldots ,G_{n})=(X-r,F_{1},\ldots ,F_{n})={\mathfrak {a}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe