Wir betrachten den
(surjektiven)
Einsetzungshomomorphismus
-
der
auf die Restklasse zu
abbildet. Dabei wird
auf
und die
,
,
werden auf
abgebildet. Nach
dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus
gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus
-
Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Sei dazu
-
![{\displaystyle {}P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}\in R[X]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925512460df2c39151e22dc7f8af24259adf2cc4)
das unter
auf
abgebildet wird, d.h. es ist
in
, und das bedeutet
-

in
. Wir betrachten

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in
stets
ausklammern kann. Somit ist
-

und insgesamt
-

Wegen den entsprechenden Gleichungen
-

mit gewissen
und somit ist
-
