Kommutativer Ring/Polynomring/1/Restklassenring/Aufgabe/Lösung

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Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

der auf die Restklasse zu abbildet. Dabei wird auf und die , , werden auf abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus

Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Sei dazu

das unter auf abgebildet wird, d.h. es ist in , und das bedeutet

in . Wir betrachten

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in stets ausklammern kann. Somit ist

und insgesamt

Wegen den entsprechenden Gleichungen

mit gewissen und somit ist

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