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Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/X^(p) +XM/Etale Überlagerung/Fakt/Beweis

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Beweis

Die definierende Matrixgleichung

bedeutet

Ferner ergibt sich aus der Vertauschbarkeit des Frobeniushomomorphismus mit der Determinante und aus dem Determinantenmultiplikationssatz die Beziehung

bzw.

Daher kann man die Potenzen und für durch -Linearkombinationen von kleineren Potenzen ausdrücken, so dass ein endliches -Modul-Erzeugendensystem besitzt. Die Matrixgleichung zeigt ebenfalls, dass die -Algebra (also ohne die Determinante) frei über ist und damit auch flach. Die Flachheit bleibt erhalten, wenn man die Determinante als Nenner aufnimmt.
Zum Beweis, dass eine étale Abbildung vorliegt, müssen wir zeigen, dass ist für alle Paare . Aufgrund der beschreibenden Gleichungen und wegen in ist

für alle . Es sei die inverse Matrix zu . Dann gilt

da bei die innere Summe gleich und bei die innere Summe gleich ist.