Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Freie Auflösung/Stabil frei/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$0\longrightarrow F_{r}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine endliche freie Auflösung. Da ${}M$ projektiv ist, ist

${}F_{0}\cong N_{0}\oplus M\,.$

Damit ist nach Fakt auch ${}N_{0}$, also der Kern von ${}d_{-1}$, selbst wieder projektiv. Somit können wir mit dem surjektiven Homomorphismus

$F_{1}\longrightarrow N_{0}$

fortfahren und erhalten induktiv an jeder Stelle, dass

${}\operatorname {kern} d_{i-1}=\operatorname {bild} d_{i}=N_{i}\,$

projektiv ist, und es ist

${}F_{i}\cong N_{i}\oplus N_{i-1}\,.$

Daher ist

${}M\oplus F_{1}\oplus F_{3}\oplus \ldots \cong F_{0}\oplus F_{2}\oplus F_{4}\oplus \ldots \,.$

Zur bewiesenen Aussage