Kommutativer Ring/Regularität/Syzygien und Differentialmodul/Freiheit/Bemerkung

So wie nach dem Satz von Kunz die Freiheit von ${}\,^{1}R$ die Regularität des lokalen Ringes ${}R$ in positiver Charakteristik beschreibt, gibt es verschiedene Moduln, deren Freiheit die Regularität des Ringes charakterisiert.

Für einen lokalen noetherschen Ring der Dimension ${}d$ besagt die homologische Charakterisierung der Regularität (Der Satz von Auslander Buchsbaum Serre), dass in der an der ${}d$-ten Stelle abgebrochenen freien Auflösung des Restklassenkörpers, also

$0\longrightarrow \operatorname {Syz} _{d-1}\longrightarrow F_{d-1}\longrightarrow F_{d-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}=R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

mit ${}F_{i}$ frei der „letzte“ ${}R$-Modul ${}\operatorname {Syz} _{d-1}$ genau dann frei ist, wenn ${}R$ regulär ist.

Für eine lokale ${}K$-Algebra ${}R$, die im wesentlichen vom endlichen Typ sei, wird die Glattheit von ${}R$ durch die Freiheit des ${}R$-Moduls der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ charakterisiert. In Charakteristik ${}0$ ist es ein offenes Problem, ob die Freiheit des dazu dualen Modules, nämlich des Moduls der Derivationen, ebenfalls die Glattheit charakterisiert (Zariski-Lipman-Problem; in positiver Charakteristik ist dies falsch).