Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt

Für das Spektrum  ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  eines kommutativen Ringes ${}R$ gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Abschluss einer Teilmenge  ${}T\subseteq X$  ist ${}V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$.
2. Der Abschluss eines Punktes  ${}x\in X$  ist ${}V{\left({\mathfrak {p}}_{x}\right)}$.
3. Ein Punkt  ${}x\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  ist genau dann abgeschlossen, wenn ${}{\mathfrak {p}}_{x}$ ein maximales Ideal ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen