Es ist und , da jedes Primideal die und kein Primideal die enthält.
Zu einer beliebigen Familie
, , aus Teilmengen ist
-
Dabei ist die Inklusion klar, da gilt und da aus stets folgt. Für die andere Inklusion sei . D.h. es gibt ein mit . Somit gibt es ein mit und daher für dieses .
Zu einer endlichen Familie aus Teilmengen ist
-
Dabei bezeichnet
die Menge aller Produkte
mit
. Hierbei ist die Inklusion
klar. Für die umgekehrte Inklusion sei
für alle
vorausgesetzt. Das bedeutet, dass es
mit
gibt. Aufgrund der Primidealeigenschaft ist dann
, also
.