Beweis
Nach
Fakt (9)
ist
genau dann, wenn die Ideale
,
,
zusammen das Einheitsideal erzeugen. Das von der Familie erzeugte Ideal besteht aus allen endlichen Summen
mit
.
Wenn also das Einheitsideal erzeugt wird, so bedeutet dies, dass es eine endliche Auswahl
und Elemente
mit
gibt. Dann ist aber
-

und somit ist eine endliche überdeckende Teilfamilie gefunden.