Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt

Für das Spektrum  ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  eines kommutativen Ringes ${}R$ gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist  ${}D(T)=D({\mathfrak {a}})$,  wobei ${}{\mathfrak {a}}$ das durch ${}T$ erzeugte Ideal (Radikal) in ${}R$ sei. Man kann sich also bei der Beschreibung der offenen Teilmengen auf die Radikale von ${}R$ beschränken.
2. Für eine Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$, ${}i\in I$, von Idealen in ${}R$ ist

   ${}\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

3. Für eine endliche Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von Idealen in ${}R$ ist

   ${}\bigcap _{i=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}=D({\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n})\,.$

4. Es ist  ${}D({\mathfrak {a}})=X$  genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal ist.
5. Es ist  ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq D({\mathfrak {b}})$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$  gilt.
6. Das Spektrum ist genau dann leer, wenn ${}R$ der Nullring ist.
7. Es ist  ${}D({\mathfrak {a}})=\emptyset$  genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ nur nilpotente Elemente enthält.
8. Die offenen Mengen ${}D(f)$, ${}f\in R$, bilden eine Basis der Topologie.
9. Eine Familie von offenen Mengen ${}D({\mathfrak {a}}_{i})$, ${}i\in I$, ist genau dann eine Überdeckung von ${}X$, wenn die Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen.

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