Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt

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Für das Spektrum eines kommutativen Ringes gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es ist , wobei das durch erzeugte Ideal (Radikal) in sei. Man kann sich also bei der Beschreibung der offenen Teilmengen auf die Radikale von beschränken.
  2. Für eine Familie , , von Idealen in ist
  3. Für eine endliche Familie , , von Idealen in ist
  4. Es ist genau dann, wenn das Einheitsideal ist.
  5. Es ist genau dann, wenn gilt.
  6. Das Spektrum ist genau dann leer, wenn der Nullring ist.
  7. Es ist genau dann, wenn nur nilpotente Elemente enthält.
  8. Die offenen Mengen , , bilden eine Basis der Topologie.
  9. Eine Familie von offenen Mengen , , ist genau dann eine Überdeckung von , wenn die Ideale zusammen das Einheitsideal erzeugen.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen