Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq S$  gilt  ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  genau dann, wenn sowohl  ${}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$  als auch  ${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$  gilt. Die erste Bedingung ist zu  ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$  und die zweite Bedingung ist zu

${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$

äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage