Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal  $𝔭\subseteq S$  gilt  ${\phi }^{-1}(𝔭)=𝔮$  genau dann, wenn sowohl  $\phi (𝔮)\subseteq 𝔭$  als auch  $\phi (R\setminus 𝔮)\subseteq S\setminus 𝔭$  gilt. Die erste Bedingung ist zu  $𝔮S\subseteq 𝔭$  und die zweite Bedingung ist zu

$\phi (R\setminus 𝔮)\cap 𝔭=\mathrm{\varnothing }$

äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage