Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt

Es sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶\mathrm{Spek}\left(R\right),𝔭⟼{\phi }^{\ast }(𝔭),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal  $𝔮\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  gleich $\mathrm{Spek}((S/𝔮S{)}_{\phi (R\setminus 𝔮)})$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(S\right)$  mit  $𝔮S\subseteq 𝔭$  und mit  $𝔭\cap \phi (R\setminus 𝔮)=\mathrm{\varnothing }$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen