Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist  ${}a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist  ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$  und wegen  ${}-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

Zur bewiesenen Aussage