Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist  $a0=a(0+0)=a0+a0$.  Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von $a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$

   nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von $ab$.

3. Nach (2) ist  $(-a)(-b)=(-(-a))b$  und wegen  $-(-a)=a$  folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

Zur bewiesenen Aussage