Kommutativer Ring/nx und x^n ist 0/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Restklassenring

${}R=\mathbb {Z} /(n)[X]/(X^{n})\,$

und darin die Restklasse zu ${}X$, die wir mit ${}x$ bezeichnen. Das Element ${}x$ ist nicht ${}0$, da im Polynomring aus Gradgründen ${}X$ nicht ein Vielfaches von ${}X^{n}$ mit ${}n\geq 2$ sein kann. In diesem Ring gilt ${}n=0$ und daher ist ${}ny=0$ überhaupt für jedes Element ${}y\in R$, also insbesondere für ${}x$. Ferner ist ${}x^{n}=0$,

da in der Restklassenbildung das gesamte Ideale zu ${}0$ gemacht wird.

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